Rabu, 10 Oktober 2012

DISTRIBUSI PROBABILITAS


2.1   Variabel Random
            Untuk memahami variabel bebas random, perhatikan kasus-kasus berikut :
a.       dari keluarga yang akan mempunyai 4 orang anak, misalnya adalah banyaknya anak laki-laki maka nilai-nilai x yang mungkin ialah : 0,1,2,3,4.
b.       Pada panahan dengan bulatan berjari-jari 1 m, permasalahan akan berhenti bila telah mengenai pusat lingkaran. Misalnya : adalah banyaknya kali memanah, maka harga y ialah : 1,2,3,4,5,… dan misalnya z adalah jarak hasil panahan dengan titik pusat, maka harga variabel terletak dalam interval  0< z < 1.
Variabel x,y,z diatas disebut variabel random (random variabel).
Pada (a) banyaknya harga x berhingga.
Pada (b) banyaknya harga y tak terhingga countable.
Kedua variabel diatas dapat dibilang. Variabel random yang demikian disebut : random variabel discrete.
Pada (b) harga-harga Z dapat mencapai semua harga dalam interval [0,1]. Random variabel yang demikian disebut : random variabel continu.
Notasi :
Random variabel ditulis X,Y,Z sedang untuk menunjukan sebarang harga X, dipakai notasi x, jadi ;
      X1,x2,x3 …………………………………
            X1,x2,x3 …………………………………

2.2   Fungsi Probabilitas
            ditentukan variabel random diskrit X dengan harga harga x1,x2,x3 ……. Xn, Fungsi f disebut fungsi probabilitas dengan domain X, jika memenuhi persyaratan :
a.       0 < f (x1) < ; i = 1,2,3, ..., n
b.       p (X = x1) = f (X1)
c.        f (x1) = 1

2.3   Fungsi Density (Fungsi Kepadatan)
            Ditentukan variabel random kontinyu x, dengan harga a < x < b. Fungsi f disebut fungsi density dari x, jika memenuhi :
1.       f (x) > 0
2.       p (x1< x < x2)          =  f (X) dx;x1,x2  [a,b]
3.       p (x1< x < x2)          =  p (x1 < x < x2)
=  p (x1 < x < x2)           
=  p (x1 < x < x2)
4.       f (x) =1
Contoh 2.1 :
1.       Diketahui probabilitas kelahiran bayi laki-laki ialah 1/3. Dari suatu keluarga yang mempunyai 3 orang anak, misalkan x banyaknya anak perempuan, maka tentukanlah :
  1. Distribusi probabilitas dari x
  2. Grafik fungsinya
  3. Distribusi kumulatif dari x
  4. Probabilitas banyaknya anak perempuan kurang dari 2
  5. Harapan kita memperoleh anak perempuan dari keluarga tersebut
Jawaban :

       L = Kejadian lahirnya bayi laki-laki, P ( L ) = 1/3

       P = Kejadian lahirnya bayi perempuan, p (P) = 1-1/3 =2/3,
       P dan L kejadian elsklusif secara bersamaan (anggapan anak yang lahir hanya seorang),
       X = banyaknya anak perempuan, harga –harga x dapat mencapai 0,1,2,3.
       p (x=0)       = p(L) . p(L) . p(L) = (1/3)3 = 1/27 
       p (x-1)        = p(P) . p(L) . p(L) + p(L) . p(P) . p(L) + p(L) . p(L) . P(P)               
                        = 3 . (1/3)2 . 2/3
                        = 3 . 1/9.2/3 = 2/9
                        = 6/27
       p ( x =2 )    = 3 . (3/2)2.1/3
                        = 3 . 4/9 . 1/3 = 4/9
                        = 12/27
       P ( X=3 )    = (2/3)3 = 8/27  

a.       Distribusi probabilitas p(x) dari x
x
f(x) = p(x)
0
1
2
3
1/27
6/27
12/17
8/27
jumlah
1
Grafik fungsi probabilitas








b.       Distribusi Komulatif p(x) dari x
x
 p(x)
0
1
2
3
0
1/27
7/27
15/27
4
27/27
    
c.       Probabilitas banyaknya anak perempuan yang kurang dari dua :
P (x < 2 )         = p ( x = 0 ) + p ( x = 1 )
                       = 1/27 + 2/9
                       = 7/27

d.       E(x)     = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4
                             = 0. 1/27 + 1. 6/27 + 2. 12/27 + 3. 8/27
                             = 0 + 6/27 + 24/27 + 24/27
                             = 54/27 = 2      
Ini berarti  bahwa kita mempunyai harapan untuk memperoleh 2 orang anak perempuan dari 3 orang anak yang lahir
Contoh 2.2 :
Seorang pengusaha bioskop ingin mengadakan pelayanan ketepatan waktu terhadap penonton. Lamanya seorang membeli karcis diberikan oleh fungsi :
       F(x) = a.ex ; x = dalam menit (x>0)
       Ditanyakan :
a.       Berapa  harga a agar f fungsi density?
b.       Berapa probabilitas seorang pembeli membutuhkan pelayanan 2 sampai 3 menit
c.       Berapa % pelayanan lebih lama dari 3 menit ?
Jawab :
       x di sini ialah waktu, jadi random variabel continu.
a.       Agar f fungsi density (x> 0), haruslah
                
               
            Jadi a = 1 sehingga f(x) = e-x
b.       p ( 2 < x < 3 ) =   
Ini berarti bahwa, kalau ada 1000 orang pengunjung, hanya ada sekitar 83 orang membutuhkan pelayanan 2 sampai 3 menit.
c.       coba dikerjakan sendiri !
     

Tidak ada komentar:

Posting Komentar