DISTRIBUSI PROBABILITAS

2.1   Variabel Random

            Untuk memahami variabel bebas random, perhatikan kasus-kasus berikut :

a.       dari keluarga yang akan mempunyai 4 orang anak, misalnya adalah banyaknya anak laki-laki maka nilai-nilai x yang mungkin ialah : 0,1,2,3,4.

b.       Pada panahan dengan bulatan berjari-jari 1 m, permasalahan akan berhenti bila telah mengenai pusat lingkaran. Misalnya : adalah banyaknya kali memanah, maka harga y ialah : 1,2,3,4,5,… dan misalnya z adalah jarak hasil panahan dengan titik pusat, maka harga variabel terletak dalam interval  0< z < 1.

Variabel x,y,z diatas disebut variabel random (random variabel).

Pada (a) banyaknya harga x berhingga.

Pada (b) banyaknya harga y tak terhingga countable.

Kedua variabel diatas dapat dibilang. Variabel random yang demikian disebut : random variabel discrete.

Pada (b) harga-harga Z dapat mencapai semua harga dalam interval [0,1]. Random variabel yang demikian disebut : random variabel continu.

Notasi :

Random variabel ditulis X,Y,Z sedang untuk menunjukan sebarang harga X, dipakai notasi x, jadi ;

      X₁,x₂,x₃ …………………………………

            X₁,x₂,x₃ …………………………………

2.2   Fungsi Probabilitas

            ditentukan variabel random diskrit X dengan harga harga x₁,x₂,x₃ ……. X_n, Fungsi f disebut fungsi probabilitas dengan domain X, jika memenuhi persyaratan :

a.       0 < f (x₁) < ; i = 1,2,3, ..., n

b.       p (X = x₁) = f (X₁)

c.        f (x₁) = 1

2.3   Fungsi Density (Fungsi Kepadatan)

            Ditentukan variabel random kontinyu x, dengan harga a < x < b. Fungsi f disebut fungsi density dari x, jika memenuhi :

1.       f (x) > 0

2.       p (x1< x < x2)          =  f (X) dx;x1,x2  [a,b]

3.       p (x1< x < x2)          =  p (x₁ < x < x₂)

=  p (x₁ < x < x₂)           

=  p (x₁ < x < x₂)

4.       f (x) =1

Contoh 2.1 :

1.       Diketahui probabilitas kelahiran bayi laki-laki ialah 1/3. Dari suatu keluarga yang mempunyai 3 orang anak, misalkan x banyaknya anak perempuan, maka tentukanlah :

1. Distribusi probabilitas dari x
2. Grafik fungsinya
3. Distribusi kumulatif dari x
4. Probabilitas banyaknya anak perempuan kurang dari 2
5. Harapan kita memperoleh anak perempuan dari keluarga tersebut

Jawaban :

       L = Kejadian lahirnya bayi laki-laki, P ( L ) = 1/3

       P = Kejadian lahirnya bayi perempuan, p (P) = 1-1/3 =2/3,

       P dan L kejadian elsklusif secara bersamaan (anggapan anak yang lahir hanya seorang),

       X = banyaknya anak perempuan, harga –harga x dapat mencapai 0,1,2,3.

       p (x=0)       = p(L) . p(L) . p(L) = (1/3)³ = 1/27 

       p (x-1)        = p(P) . p(L) . p(L) + p(L) . p(P) . p(L) + p(L) . p(L) . P(P)               

                        = 3 . (1/3)² . 2/3

                        = 3 . 1/9.2/3 = 2/9

                        = 6/27

       p ( x =2 )    = 3 . (3/2)².1/3

                        = 3 . 4/9 . 1/3 = 4/9

                        = 12/27

       P ( X=3 )    = (2/3)³ = 8/27  

a.       Distribusi probabilitas p(x) dari x

x	f(x) = p(x)
0 1 2 3	1/27 6/27 12/17 8/27
jumlah	1

Grafik fungsi probabilitas

b.       Distribusi Komulatif p(x) dari x

x	p(x)
0 1 2 3	0 1/27 7/27 15/27
4	27/27

    

c.       Probabilitas banyaknya anak perempuan yang kurang dari dua :

P (x < 2 )         = p ( x = 0 ) + p ( x = 1 )

                       = 1/27 + 2/9

                       = 7/27

d.       E(x)     = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4

                             = 0. 1/27 + 1. 6/27 + 2. 12/27 + 3. 8/27

                             = 0 + 6/27 + 24/27 + 24/27

                             = 54/27 = 2      

Ini berarti  bahwa kita mempunyai harapan untuk memperoleh 2 orang anak perempuan dari 3 orang anak yang lahir

Contoh 2.2 :

Seorang pengusaha bioskop ingin mengadakan pelayanan ketepatan waktu terhadap penonton. Lamanya seorang membeli karcis diberikan oleh fungsi :

       F(x) = a.e^x ; x = dalam menit (x>0)

       Ditanyakan :

a.       Berapa  harga a agar f fungsi density?

b.       Berapa probabilitas seorang pembeli membutuhkan pelayanan 2 sampai 3 menit

c.       Berapa % pelayanan lebih lama dari 3 menit ?

Jawab :

       x di sini ialah waktu, jadi random variabel continu.

a.       Agar f fungsi density (x> 0), haruslah

                

               

            Jadi a = 1 sehingga f(x) = e^-x

b.       p ( 2 < x < 3 ) =   

Ini berarti bahwa, kalau ada 1000 orang pengunjung, hanya ada sekitar 83 orang membutuhkan pelayanan 2 sampai 3 menit.

c.       coba dikerjakan sendiri !