2.1 Variabel
Random
Untuk memahami variabel bebas random,
perhatikan kasus-kasus berikut :
a.
dari keluarga yang akan mempunyai 4 orang anak, misalnya adalah
banyaknya anak laki-laki maka nilai-nilai x yang mungkin ialah : 0,1,2,3,4.
b.
Pada panahan dengan bulatan berjari-jari 1 m, permasalahan akan
berhenti bila telah mengenai pusat lingkaran. Misalnya : adalah banyaknya kali
memanah, maka harga y ialah : 1,2,3,4,5,… dan misalnya z adalah jarak hasil
panahan dengan titik pusat, maka harga variabel terletak dalam interval 0< z < 1.
Variabel x,y,z diatas disebut variabel
random (random variabel).
Pada (a) banyaknya harga x berhingga.
Pada (b) banyaknya harga y tak terhingga
countable.
Kedua variabel diatas dapat dibilang. Variabel
random yang demikian disebut : random variabel discrete.
Pada (b) harga-harga Z dapat mencapai
semua harga dalam interval [0,1]. Random variabel yang demikian disebut : random
variabel continu.
Notasi :
Random
variabel ditulis X,Y,Z sedang untuk menunjukan sebarang harga X, dipakai notasi
x, jadi ;
X1,x2,x3
………………………………… 
X1,x2,x3
………………………………… 
2.2 Fungsi
Probabilitas
ditentukan variabel random diskrit X
dengan harga harga x1,x2,x3 ……. Xn,
Fungsi f disebut fungsi probabilitas dengan domain X, jika memenuhi persyaratan
:
a.
0 < f (x1) < ; i = 1,2,3, ..., n
b.
p (X = x1) = f (X1)
c.
f (x1) = 1
f (x1) = 1
2.3 Fungsi
Density (Fungsi Kepadatan)
Ditentukan
variabel random kontinyu x, dengan harga a < x < b. Fungsi
f disebut fungsi density dari x, jika memenuhi :
1.
f (x) > 0
2.
p (x1< x < x2) = 
f (X) dx;x1,x2 
[a,b]
f (X) dx;x1,x2 [a,b]
3.
p (x1< x < x2) = p (x1 < x < x2)
= p
(x1 < x < x2)
= p
(x1 < x < x2)
4.
f (x) =1
f (x) =1
Contoh 2.1 :
1.
Diketahui probabilitas kelahiran bayi laki-laki ialah 1/3. Dari
suatu keluarga yang mempunyai 3 orang anak, misalkan x banyaknya anak
perempuan, maka tentukanlah :
- Distribusi
probabilitas dari x
- Grafik
fungsinya
- Distribusi
kumulatif dari x
- Probabilitas
banyaknya anak perempuan kurang dari 2
- Harapan
kita memperoleh anak perempuan dari keluarga tersebut
Jawaban :
L = Kejadian lahirnya bayi laki-laki, P ( L ) = 1/3
P
= Kejadian lahirnya bayi perempuan, p (P) = 1-1/3 =2/3,
P
dan L kejadian elsklusif secara bersamaan (anggapan anak yang lahir hanya
seorang),
X
= banyaknya anak perempuan, harga –harga x dapat mencapai 0,1,2,3.
p (x=0) =
p(L) . p(L) . p(L) = (1/3)3 = 1/27
p (x-1) =
p(P) . p(L) . p(L) + p(L) . p(P) . p(L) + p(L) . p(L) . P(P)
= 3 . (1/3)2
. 2/3
= 3 . 1/9.2/3 = 2/9
= 6/27
p ( x =2 ) = 3 . (3/2)2.1/3
= 3 . 4/9 . 1/3 = 4/9
= 12/27
P ( X=3 ) =
(2/3)3 = 8/27
a.
Distribusi probabilitas p(x) dari x
|
x
|
f(x) = p(x)
|
|
0
1
2
3
|
1/27
6/27
12/17
8/27
|
|
jumlah
|
1
|
Grafik fungsi probabilitas
b.
Distribusi Komulatif p(x) dari x
|
x
|
p(x)
|
|
0
1
2
3
|
0
1/27
7/27
15/27
|
|
4
|
27/27
|
c.
Probabilitas banyaknya anak perempuan yang kurang dari dua :
P (x < 2 ) = p ( x = 0 ) + p ( x = 1 )
=
1/27 + 2/9
=
7/27
d.
E(x) = p1x1 + p2x2 +
p3x3 + p4x4
=
0. 1/27 + 1. 6/27 + 2. 12/27 + 3. 8/27
=
0 + 6/27 + 24/27 + 24/27
=
54/27 = 2
Ini berarti bahwa kita mempunyai harapan untuk memperoleh
2 orang anak perempuan dari 3 orang anak yang lahir
Contoh 2.2 :
Seorang pengusaha bioskop ingin mengadakan
pelayanan ketepatan waktu terhadap penonton. Lamanya seorang membeli karcis
diberikan oleh fungsi :
F(x)
= a.ex ; x = dalam menit (x>0)
Ditanyakan
:
a.
Berapa harga a agar f
fungsi density?
b.
Berapa probabilitas seorang pembeli membutuhkan pelayanan 2
sampai 3 menit
c.
Berapa % pelayanan lebih lama dari 3 menit ?
Jawab :
x
di sini ialah waktu, jadi random variabel continu.
a.
Agar f fungsi density (x> 0), haruslah
Jadi a = 1
sehingga f(x) = e-x
b.
p ( 2 < x < 3 ) = 
Ini berarti bahwa, kalau ada 1000 orang
pengunjung, hanya ada sekitar 83 orang membutuhkan pelayanan 2 sampai 3 menit.
c.
coba dikerjakan sendiri !
